Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交 x轴于A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3），过点A的直线交抛物线与另一点D．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为，连接PC、PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A1P1D1，使△A1P1D1≌△APD（点A1、P1、D1的对应点分别是A、P、D，A1P1平行于y轴，点P1在点A1上方），且△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A1的横坐标m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3，点D坐标为（﹣2，）；（2）P为（1，0）；（3）存在，m=﹣或m= 或m=或m=﹣．

【解析】

（1）将A、B、C三点坐标代入解方程组即可．

（2）求出点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最小，求出直线CQ′即可解决问题．

（3）分类讨论①当P1、A1在抛物线上时，由A1P1∥y轴，故不存在．②当P1、D1在抛物线上时，设P1（t，t2﹣t﹣3）则D1（ ，t2﹣t）或（，t2﹣t）列出方程即可解决．③当A1、D1在抛物线上时，设A1（（m，m2﹣m﹣3）则D1（，m2﹣m+3）或（，m2﹣m+3），列出方程即可解决．

解：（1）由题意得 ，

解得 ．

所以抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3．

由 解得 或 ，所以点D坐标为（﹣2，）．

（2）∵直线AC为y=x﹣3，= ，

∴点Q坐标为（，），点Q关于x轴的对称点Q′（，），连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最小，

∵直线CQ′为y=3x﹣3，

∴直线CQ′与x轴的交点P为（1，0）．

（3）当P1、A1在抛物线上时，由A1P1∥y轴，故不存在．

当P1、D1在抛物线上时，设P1（t，t2﹣t﹣3）则D1（，t2﹣t）或（，t2﹣t）．

∴t2﹣t =（）2﹣（）﹣3，解得t=，此时m=t=，

或t2﹣t =（）2﹣（）﹣3，解得t=，此时m=t=，

当A1、D1在抛物线上时，设A1（（m， m2﹣m﹣3）则D1（，m2﹣m+3）或（，m2﹣m+3）．

∴m2﹣m+3=（）2﹣（）﹣3，解得m=，

或m2﹣m+3=（）2﹣（）﹣3，解得m=﹣．