Question

5．如图，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEF，则四边形MPQN的面积为$\frac{9}{4}$cm²．

Answer 1

分析 根据含30度的直角三角形三边的关系得AB=2AC=6，则PB=3，再根据旋转的性质得∠BPE=90°，∠E=∠B=30°，PE=PB=3；在Rt△PBM中，利用∠B=30°得到PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PB=$\sqrt{3}$，BM=2PM=2$\sqrt{3}$，则EM=EP-PM=3-$\sqrt{3}$；在Rt△EMN中，利用∠E=30°得到MN=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{3}$），则BN=BM+MN=$\frac{3（1+\sqrt{3}）}{2}$，接着在Rt△BON中，利用∠B=30°可计算出ON=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BN=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，然后利用S_{四边形MPQN}=S_△BON-S_△BPM进行计算即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∵P点为AB的中点，
∴PB=3，
∵以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEF，
∴∠BPE=90°，∠E=∠B=30°，PE=PB=3，
在Rt△PBM中，∵∠B=30°，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PB=$\sqrt{3}$，BM=2PM=2$\sqrt{3}$，
∴EM=EP-PM=3-$\sqrt{3}$，
在Rt△EMN中，∵∠E=30°，
∴MN=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{3}$），
∴BN=BM+MN=$\frac{3（1+\sqrt{3}）}{2}$，
在Rt△BON中，∵∠B=30°，
∴ON=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{3（1+\sqrt{3}）}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形MPQN}=S_△BON-S_△BPM
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3（1+\sqrt{3}）}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$
=$\frac{9}{4}$（cm²）．
故答案为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．