Question

17．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（　　）
（1）AD=DF；（2）$\frac{{S}_{△ABE}}{S△ACE}$=$\frac{AB}{AC}$；（3）$\frac{FH}{AD}$=$\sqrt{2}$-1；（4）四边形BEHF为菱形．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）利用折叠的性质得出∠BAE=∠EAH=22.5°，进而得出∠DAF=67.5°，利用三角形内角和得出∠AFD=67.5°，证明AD=DF正确；
（2）利用角平分线的性质得出EB=EH，再利用三角形面积公式得出$\frac{{S}_{△ABE}}{S△ACE}$=$\frac{AB}{AC}$，正确；
（3）根据tan∠BAE=tan22.5°≈0.41，利用菱形得出FH=BE，进而得出$\frac{FH}{AD}$=$\sqrt{2}$-1，正确；
（4）我们根据折叠的性质就能得出BE=EH，BF=FH，只要再证出BE=BF就能得出BEHF是菱形，可用角的度数进行求解，得出∠BFA的度数，那么就能求出∠BFE的度数，在直角三角形ABE中，有了∠BAE的度数，就能求出∠AEB的度数，这样得出BE=BF后就能证出BEHF是菱形了．

解答 解：（1）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴∠BAE=∠EAH=22.5°，
∴∠DAF=67.5°，
∴∠AFD=67.5°，
∴AD=DF，
故（1）正确；
（2）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴△ABE≌△AEH，
∴BE=EH，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{S△ACE}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•BE}{\frac{1}{2}AC•EH}=\frac{AB}{AC}$，
故（2）正确；
（3）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴∠BAE=22.5°，
∴tan∠BAE=tan22.5°=$\sqrt{2}-1$，
（4）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴BE=EH，BF=FH，
又∵FH∥BC，
∴∠AEB=∠EFH，
又∵∠AEB=∠AFH，
∴∠AFH=∠EFH，
∴BE=EH=FB=BH，
∴四边形BEHF是菱形，
故（4）正确；
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{FH}{AD}$，
故（3）正确．
故选D．

点评 主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．