Question

8．平均数和中位数反映的都是数据的“集中程度”．设数据x₁，…，x₅的平均数为$\overline{x}$，中位数为m．
（1）以数据2，3，5，8，12为例，分别计算A₁，A₂，B₁，B₂．
A₁=|x₁-m|+…+|x₅-m|，A₂=|x₁-$\overline{x}$|+…+|x₅-$\overline{x}$|，
B₁=（x₁-m）²+…+（x₅-m）²，B₂=（x₁-$\overline{x}$）²+…+（x₅-$\overline{x}$）²．
（2）根据计算结果，猜想平均数和中位数分别是什么意义下的数据代表值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得中位数，平均数，代入即可得到结论；
（2）根据平均数和中位数意义即可得到结论．

解答 解：（1）∵数据2，3，5，8，12的中位数是5，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+5+8+12）=6，
∴m=5，$\overline{x}$=6，
∴A₁=|x₁-m|+…+|x₅-m|=|2-5|+|3-5|+|5-5|+|8-5|+|12-5|=15，
A₂=|x₁-$\overline{x}$|+…+|x₅-$\overline{x}$|=|2-6|+|3-6|+|5-6|+|8-6|+|12-6|=16，
B₁=（x₁-m）²+…+（x₅-m）²=（2-5）²+（3-5）²+（5-5）²+（8-5）²+（12-5）²=71，
B₂=（x₁-$\overline{x}$）²+…+（x₅-$\overline{x}$）²=（2-6）²+（3-6）²+（5-6）²+（8-6）²+（12-6）²=66．
（2）平均数：一组数据，用这组数据的总和除以总分数，得出的数就是这组数据的平均数．平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，即平均数受较大数和较小数的影响． 
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．中位数的大小仅与数据的排列位置有关．因此中位数不受偏大和偏小数的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势．

点评 本题考查了中位数，绝对值，算术平均数的定义，熟记定义是解题的关键．