Question

5．如图1，直角三角形ABE，∠AEB=90°，∠BAE=30°，以AB为边作菱形ABCD，∠DAB=60°，点Q从A出发，沿折线AD-DC运动，运动到点C停止，设点Q运动的时间为t（s）．△AEQ的面积s（cm²）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的线段OP、PF给出．
（1）点Q运动的速度是1cm/s；
（2）t=2s时，四边形AQBE能成为矩形；
（3）是否存在这样的点Q，使△AEQ的面积等于菱形ABCD的面积$\frac{1}{2}$？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设BE=x．则AB=AD=2x，首先证明∠DAE=90°，列出方程求出x，点Q的速度=$\frac{AD}{4}$cm/s．
（2）当AQ=BE时，列出方程即可解决问题．
（3）求出菱形的面积，再求出△QAE的面积，结合图2，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，设BE=x．

在Rt△ABE中，∵∠E=90°，BE=x，∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2x，AE=$\sqrt{3}$x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2x，
∵∠DAB=60°，∠BAE=30°，
∴∠DAE=90°，
由题意可知$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$x×2x=4$\sqrt{3}$，
∴x²=4，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AD=4，
∴点Q的运动速度为$\frac{4}{4}$=1cm/s．
故答案为1cm/s．

（2）当AQ=BE时，即t=2时，∵AQ∥BE，
∴四边形AQBE是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形AQBE是矩形．
∴t=2s时，四边形AQBE是矩形．
故答案为2s．

（3）存在．
理由：∵菱形ABCD的面积=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=8$\sqrt{3}$．
∴S_△QAE=$\frac{1}{2}$×$8\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
由图2可知，t=4时△AEQ的面积等于菱形ABCD的面积$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、直角三角形30度角性质、三角形的面积公式、菱形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会看懂图象信息，充分利用图象信息解决问题，属于中考压轴题．