Question

12．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN=4，AN=3时，正方形ABCD的边长为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 5
• C． 5$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据对称的性质可知，NC=NM，DC=DM，推出∠NCD=∠NMD=∠DAM，推出∠ANC=90°，求出AC即可解决问题．

解答 解：如图所示，连接CN、DM、AC，
∵点C关于直线DE的对称点为M，
∴CN=MN，CD=DM，
∴∠NCM=∠NMC，∠DCM=∠DMC，
∴∠DCN=∠DMN，
在正方形ABCD中，AD=CD，
∴AD=DM，
∴∠DAM=∠DMN，
∴∠DCN=∠DAM，
∵∠ACN+∠CAN=∠BCD-∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，
∴∠ANC=180°-90°=90°，
∴△ACN是直角三角形，
∴AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴正方形ABCD的边长=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现△ANC是直角三角形，属于中考常考题型．