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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AD5AB3.若M为射线AD上的一个动点,将ABM沿BM折叠得到NBM.若NBC是直角三角形.则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为______

【答案】10

【解析】

根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=MNB=90°,由M为射线AD上的一个动点可知若NBC是直角三角形,∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意,只有∠BNC=90°.然后分N在矩形ABCD内部与N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论,利用勾股定理求得结论即可.

解:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BAD=90°
∵将ABM沿BM折叠得到NBM
∴∠MAB=MNB=90°
M为射线AD上的一个动点,NBC是直角三角形,
∴∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意,
∴只有∠BNC=90°.①当∠BNC=90°N在矩形ABCD内部,如图1


∵∠BNC=MNB=90°
MNC三点共线,
AB=BN=3BC=5,∠BNC=90°
NC=4
AM=MN=x
MD=5-xMC=4+x
∴在RtMDC中,CD2+MD2=MC2
32+5-x2=4+x2
解得x=1

②当∠BNC=90°N在矩形ABCD外部时,如图2


∵∠BNC=MNB=90°
MCN三点共线,
AB=BN=3BC=5,∠BNC=90°
NC=4
AM=MN=y
MD=y-5MC=y-4
∴在RtMDC中,CD2+MD2=MC2
32+y-52=y-42
解得y=9
则所有符合条件的M点所对应的AM和为1+9=10
故答案为:10

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结合小敏的思路作答

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