【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AD=5,AB=3.若M为射线AD上的一个动点,将△ABM沿BM折叠得到△NBM.若△NBC是直角三角形.则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为______.
【答案】10
【解析】
根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°,由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形,∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意,只有∠BNC=90°.然后分N在矩形ABCD内部与N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论,利用勾股定理求得结论即可.
解:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BAD=90°,
∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM,
∴∠MAB=∠MNB=90°.
∵M为射线AD上的一个动点,△NBC是直角三角形,
∴∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意,
∴只有∠BNC=90°.①当∠BNC=90°,N在矩形ABCD内部,如图1.
∵∠BNC=∠MNB=90°,
∴M、N、C三点共线,
∵AB=BN=3,BC=5,∠BNC=90°,
∴NC=4.
设AM=MN=x,
∵MD=5-x,MC=4+x,
∴在Rt△MDC中,CD2+MD2=MC2,
32+(5-x)2=(4+x)2,
解得x=1;
②当∠BNC=90°,N在矩形ABCD外部时,如图2.
∵∠BNC=∠MNB=90°,
∴M、C、N三点共线,
∵AB=BN=3,BC=5,∠BNC=90°,
∴NC=4,
设AM=MN=y,
∵MD=y-5,MC=y-4,
∴在Rt△MDC中,CD2+MD2=MC2,
32+(y-5)2=(y-4)2,
解得y=9,
则所有符合条件的M点所对应的AM和为1+9=10.
故答案为:10.
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【题目】如图,半圆O的直径DE=10cm,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=10cm,半圆O以1cm/s的速度从右到左运动,在运动过程中,D、E点始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0(s)时,半圆O在△ABC的右侧,OC=6cm,那么,当t为_____s时,△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.
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【题目】某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱.
(1)写出y与x中间的函数关系式和自变量的取值范围;
(2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,直线y=x与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=x向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线y=(k>0,x>0)交于点B,若OA=3BC,则k的值为( )
A. 3 B. 6 C. D.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答:
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由,参考小敏思考问题的方法解决一下问题;
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
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【题目】手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的裁剪线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积.(注:不同的分法,面积可以相等).
(1)________;(2)________;(3)________;(4)________.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC ;
(2)若∠BAC=,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,建筑物AB的高为6m,在其正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A,塔顶C的仰角分别为37°和60°,在A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高度.(精确到0.01m)
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【题目】一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个,它们除颜色外都相同,其中黄球个数是白球个数的2倍少5个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是.
(1)求袋中红球的个数;
(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率;
(3)取走10个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.
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