Question

AB为⊙O的直径，C为

AE

的中点，CF⊥AB于点D，交AE于G．
（1）CG与AG相等吗？为什么？
（2）若CG=

5

4

，tan∠EAB=

3

4

，求BD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）连结AC，如图，由CF⊥AB，根据垂径定理得弧AC=弧AF，则弧CE=弧AF，根据圆周角定理得∠ACF=∠CAE，所以CG=AG；
（2）连结BC，如图，在Rt△AGD中，利用正切的定义得tan∠GAD=

DG

AD

=

3

4

，设DG=3t，则AD=4t，则AG=5t，所以5t=

5

4

，解得t=

1

4

，则AD=1，DG=

3

4

，CD=CG+DG=2，然后证明Rt△ACD∽Rt△CBD，利用相似比计算BD的长．

解答：解：（1）CG=AG．理由如下：
连结AC，如图，
∵C为

AE

的中点，
∴弧CE=弧AC，
∵CF⊥AB，
∴弧AC=弧AF，
∴弧CE=弧AF，
∴∠ACF=∠CAE，
∴CG=AG；
（2）连结BC，如图，
在Rt△AGD中，CG=AG=

5

4

，
tan∠GAD=

DG

AD

=

3

4

，
设DG=3t，则AD=4t，
∴AG=

AD2+DG2

=5t，
∴5t=

5

4

，解得t=

1

4

，
∴AD=1，DG=

3

4

，
∴CD=CG+DG=2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，
而∠BCD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，即2：BD=1：2，
∴BD=4．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．