Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，且AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求矩形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标；
（2）求证：△OEF≌△BEC；
（3）P为直线y=x-2上一点，若S_△POE=5，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵AD=BC=2，
故可设点C的坐标为（m，2），
又∵点C在直线y=x-2上，
∴2=m-2，
解得：m=4，即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
故可得点A、B、D的坐标分别为（1，0）、（4，0）、（1，2）．
（2）直线y=x-2与x轴、y轴坐标分别为E （2，0）、F （0，-2），
∴OF=OE=BC=BE=2，
在RT△OEF和RT△BEC中，
故可得△OEF≌△BEC．
（3）设点P的坐标为（x_p，y_p），则S_△POE=×OE×|y_p|=×2×|y_p|=5，
解得：y_p=±5，
①当y_p=5时，x_p=7；②当y_p=-5时，x_p=-3，
故点P的坐标为（7，5）或（-3，-5）．
分析：（1）根据题意可得点C的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点C的坐标，结合矩形的性质可得出A、B、D的坐标；
（2）先求出OE、OF的长度，从而利用SAS证明△OEF≌△BEC即可．
（3）设点P的坐标为（x_p，y_p），则可表示出S_△POE=×OE×|y_p|，解出x_p的值讨论即可．
点评：此题综合考查了一次函数和矩形的性质，要求我们能将线段长度和点的坐标进行互相转化，在第三问的求解中，要先设出点P的坐标，根据面积关系进行求解．