Question

已知：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠BCD．
（1）请你猜想AE与CF有何种位置关系，并说明理由；
（2）若将条件“∠B=，∠D=90°”换成“∠B=∠D”，其他条件不变，AE与CF的这种关系是否还成立？

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠BAD+∠BCD=180°，再根据角平分线的定义求出∠1+∠2=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠2+∠3=90°从而得到∠1=∠3，然后根据同位角相等，两直线平行证明即可；
（2）类比于（1）的方法得出答案即可．

解答：解：（1）AE∥CF

理由如下：∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-90°×2=180°，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCD，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠BAD+∠BCD）=

1

2

×180°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴AE∥CF．
（2）仍然成立．
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-∠B×2，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCD，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠BAD+∠BCD）=180°-∠B，
∵∠2+∠3=180°-∠B，
∴∠1=∠3，
∴AE∥CF．

点评：本题考查了平行线的判定，四边形的内角和等于360°，角平分线的定义，以及三角形内角和定理，求出∠1=∠3是解题的关键．