Question

如图，△ABC内接于⊙O，BC=m，锐角∠A=α，用m和α表示⊙O的半径R为

 

，△ABC的面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,解直角三角形

专题：计算题

分析：作直径BD，连接CD，如图1，根据圆周角定理由BD为直径得∠BCD=90°，∠D=∠A=α，则根据正弦的定义得到sinD=

BC

BD

，则BD=

m

sinα

，即⊙O的半径R=

m

2sinα

；当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积的最大值，此时点A优弧BC的中点，如图2，AO的延长线交BC于E，连接OB，根据垂径定理的推理得
AE⊥BC，BE=

1

2

BC=

1

2

m，根据圆周角定理得∠BOE=∠BAC=α，然后在Rt△OBE中，根据正切的定义得tan∠BOE=

BE

OE

，可计算出OE=

m

2tanα

，则AE=OA+OE=

m

2sinα

+

m

2tanα

，然后根据三角形面积公式求解

解答：解：作直径BD，连接CD，如图1，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=α，
∴sinD=sinα=

BC

BD

，
∴BD=

m

sinα

，
∴⊙O的半径R=

m

2sinα

；
当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积的最大值，此时点A优弧BC的中点，如图2
AO的延长线交BC于E，连接OB，
∵点A优弧BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=

1

2

m，
∵∠BOE=∠BAC=α，
∴在Rt△OBE中，tan∠BOE=tanα=

BE

OE

，
∴OE=

1 2 m

tanα

=

m

2tanα

，
∴AE=OA+OE=

m

2sinα

+

m

2tanα

，
∴△ABC的面积=

1

2

•m•（

m

2sinα

+

m

2tanα

）
=（

1

4sinα

+

1

4tanα

）m²．
故答案为

m

2sinα

；（

1

4sinα

+

1

4tanα

）m²．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．