Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：由B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．

解答：解：如图：作等腰直角三角形ABC关于AC的对称直角三角形ADC，
连接DE，与AC交于点P，根据两点之间，线段最短得到ED就是PB+PE的最小值，
∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DAE=90°，
∵B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AD=AB=8，
∴DE=

AD2+AE2

=

62+82

=10．
∴PB+PE的最小值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出PE+PB=DE的长是解此题的关键．