Question

6．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2$\sqrt{3}$，D是优弧$\widehat{ADB}$上的任意一点（点D不与A，B重合）．
（1）连结OA，0B，求∠AOB的度数；
（2）连结AD，BD．问：△ABD什么时候面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）作OC⊥AB于C，根据垂径定理得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，在Rt△AOC中利用锐角三角函数可求出∠OAC=30°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB=120°．
（2）设D点到AB的距离为h，由三角形面积公式可知，三角形面积S是h的一次函数，当h最大时，S最大，求得h的最大值，代入即可求得．

解答 解：（1）作OC⊥AB于C，则AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴cos∠OAC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=120°；
（2）∵∠OAC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=1，
设D点到AB的距离为h，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•h=$\sqrt{3}$h，
∴当h最大时，S最大，
∵当D、O、C在一条直线上时，h最大，
∴h=OD+OC=2+1=3，
∴S的最大值为3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．