Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，E为AB中点，BD⊥CE，BD，CE相交于M，连接AM交BC于G点．
（1）求

AM

MG

；
（2）若S_△ADM=S₁，求S_△CMG的面积．

Answer 1

考点：面积及等积变换,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）易证△DAB≌△EBC，则有DA=EB．设DA=x，则BE=x，AB=BC=2x，根据勾股定理可得DB=

5

x．易证△EMB∽△DAB，根据相似三角形的性质可求得BM=

2 5

5

x，即可得到DM=

3 5

5

x，由AD∥BC可得△ADM∽△GBM，运用相似三角形的性质就可解决问题．
（2）由△ADM∽△GBM可求得

AD

GB

=

3

2

，从而得到GB=

2x

3

，CG=

4

3

x，进而可得S_△MCG=2S_△GBM．由△ADM∽△GBM可得

S△ADM

S△GBM

=

9

4

，由S_△ADM=S₁可求得S_△GBM=

4

9

S₁，进而得到S_△MCG=

8

9

S₁．

解答：解：（1）∵四边形ABCD直角梯形，BD⊥CE，
∴∠DAB=∠ABC=∠EMB=∠CMB=90°，
∴∠MCB=90°-∠MBC=∠MBE．
在△DAB和△EBC中，

∠DAB=∠EBC AB=BC ∠ABD=∠BCE

，
∴△DAB≌△EBC，
∴DA=EB．
设DA=x，则AE=BE=x，AB=BC=2x，
∴DB=

DA2+AB2

=

5

x．
∵∠MBE=∠ABD，∠EMB=DAB，
∴△EMB∽△DAB，
∴

BM

BA

=

BE

BD

，
∴

BM

2x

=

x

5 x

，
∴BM=

2 5

5

x，
∴DM=DB-BM=

5

x-

2 5

5

x=

3 5

5

x，
∴

DM

BM

=

3

2

．
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△GBM，
∴

AM

MG

=

AD

GB

=

DM

BM

=

3

2

．

（2）∵

AD

GB

=

3

2

，AD=x，∴GB=

2x

3

，
∴CG=BC-GB=2x-

2x

3

=

4

3

x，
∴CG=2GB，
∴S_△MCG=2S_△GBM．
∵△ADM∽△GBM，
∴

S△ADM

S△GBM

=（

DM

BM

）²=

9

4

．
∵S_△ADM=S₁，∴S_△GBM=

4

9

S₁，
∴S_△MCG=

8

9

S₁．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证到DA=EB并运用相似三角形的性质是解决第（1）小题的关键，运用相似三角形的性质及面积法是解决第（2）小题的关键．