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【题目】【问题探究】

1)如图1,锐角△ABC中,分别以ABAC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE=ABAD=AC∠BAE=∠CAD,连接BDCE,试猜想BDCE的大小关系,并说明理由.

【深入探究】

2)如图2,四边形ABCD中,AB=7cmBC=3cm∠ABC=∠ACD=∠ADC=45,求BD的长.

3)如图3,在(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.

【答案】1BD=CE.理由参见解析;(2cm;(3)(cm

【解析】试题分析:(1)首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD,则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD,根据全等三角形的性质即可证明;

2)在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°AE=AB,连接EAEBEC,证明△EAC≌△BAD,证明BD=CE,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解;

3)在线段AC的右侧过点AAE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E,证明△EAC≌△BAD,证明BD=CE,即可求解.

试题解析:解:(1BD=CE

理由是:∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,在△EAC△BAD中,∵AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD∴△EAC≌△BAD∴BD=CE

2)如图2,在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°AE=AB,连接EAEBEC∵∠ACD=∠ADC=45°∴AC=AD∠CAD=90°∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,在△EAC△BAD中,∵AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD∴△EAC≌△BAD∴BD=CE∵AE=AB=3∴BE==(不化简不必扣分),∠AEC=∠AEB=45°,又∵∠ABC=45°∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°∴EC===∴BD=CE=

3)如图3,在线段AC的右侧过点AAE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E,连接BE∵AE⊥AB∴∠BAE=90°,又∵∠ABC=45°∴∠E=∠ABC=45°∴AE=AB=3BE==,又∵∠ACD=∠ADC=45°∴∠BAE=∠DAC=90°∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC,即∠EAC=∠BAD,在△EAC△BAD中,∵AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD∴△EAC≌△BAD∴BD=CE∵BC=1∴BD=CE==cm).

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