Question

15．已知二次函数y=-x²+（m-1）x+m．
（1）证明：不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交点于（0，3），求出顶点坐标并画出该函数；
（3）在（2）的条件下，观察图象，不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集是0＜x＜2．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到关于x的方程，找出相应的a，b及c的值，表示出b²-4ac，整理配方后，根据完全平方式大于等于0，判断出b²-4ac大于等于0，可得出抛物线与x轴总有交点，得证；
（2）由抛物线与y轴交于（0，3），将x=0，y=3代入抛物线解析式，求出m的值，进而确定出抛物线解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象，如图所示；
（3）由图象可得出不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集．

解答 （1）证明：令y=0，得到-x²+（m-1）x+m=0，
∵a=-1，b=m-1，c=m，
∴b²-4ac=（m-1）²+4m=（m+1）²，
又（m+1）²≥0，即b²-4ac≥0，
∴方程y=-x²+（m-1）x+m有实数根，
则该函数图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），
∴把x=0，y=3代入解析式得：m=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
列表如下：

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-5	0	3	4	3	0	-5

描点；
画图如下：

（3）解：由图象可得：不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集是0＜x＜2，
故答案为0＜x＜2．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象与性质，是一道综合性较强的试题．