Question

【题目】已知点是等腰直角三角形斜边上的中点，，是上一点，连结．

（1）如图1，若点在线段上，过点作，垂足为，交于点，求证：；

（2）如图2，若点在延长线上，，垂足为，交的延长线于点，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定得出Rt△BOE≌Rt△AOF，进而证明即可．

（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定得出Rt△BOE≌Rt△AOF，进而解答即可．

（1）证明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°

又点O是AC边上的中点，

∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°

∴∠BAC=∠ABO，

∴OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF；

（2）OE=OF成立；

∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°

又点O是AC边上的中点，

∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°

∴∠BAC=∠ABO，

∴OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF