Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DE，OD．

∵BC相切⊙O于点D，

∴∠CDA=∠AED，

∵AE为直径，

∴∠ADE=90°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACD=90°，

∴∠DAO=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵BC相切⊙O于点D，

∴∠ODB=90°，

∴OD=BD，∴∠BOD=45°，

设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，

∴BC=AC=x+1，

∵AC2+BC2=AB2，

∴2（x+1）2=（ x+x）2，

∴x= ，

∴BD=OD= ，

∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE= ﹣ =1﹣

【解析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，根据勾股定理得到BD=OD= ，于是得到结论．