Question

4．如图，直线y=kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B，边长为2的等边△COD的顶点C、D分别在线段AB、OB上，且DO=2DB．
（1）求B、C两点的坐标；       
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥OD于H，如图，根据等边三角形的性质得OH=DH=$\frac{1}{2}$OD=1，再根据勾股定理计算出CH=$\sqrt{3}$，则可得到C点坐标为（1，$\sqrt{3}$）；然后利用OD=2DB得到DB=1，则可得到B点坐标为（3，0）；
（2）把C（1，$\sqrt{3}$），B（3，0）代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可．

解答 解：（1）作CH⊥OD于H，如图，
∵△OCD为等边三角形，
∴OH=DH=$\frac{1}{2}$OD=1，
在Rt△OCH中，∵OC=2，OH=1，
∴CH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C点坐标为（1，$\sqrt{3}$）；
∵OD=2DB，
∴DB=1，
∴OB=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）把C（1，$\sqrt{3}$），B（3，0）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等边三角形的性质．