Question

如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°
（1）求证：CA=CD
（2）求证：BD=OB．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质，推出∠A，∠D的度数，即可推出结论；
（2）首先证明△BOC是等边三角形，所以可得OB=BC，再证明BD=BC即可．

解答：（1）证明：
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC=OB，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°，
∴CA=CD，
（2）∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∵CO=BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵∠D=30°，
∴∠BCD=∠D=30°，
∴BD=BC，
∴BD=OB．

点评：本题主要考查切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质一等腰三角形的判定和性质，解题的关键在于求出∠D、∠A的度数