Question

【题目】在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．边AB＝_____，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），CG＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度；证明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形；得出∠AEF=60°，证明△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，

∴△AOB为直角三角形，且OA＝AC＝1，OB＝BD＝．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2．

∵AB＝BC＝AC＝2，

∴△ABC与△ACD均为等边三角形，

∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，∠ACE＝∠EBA＝∠FCA＝60°，

又∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF．

在△ABE与△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE＝CF，AE＝AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形．

∴∠AEF＝60°，

∵BC＝2，E为为边BC的四等分点，且BE＞CE，

∴CE＝，BE＝．

∴CF＝BE＝，

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA＝∠GFC+∠FCG+∠CGF＝180°，∠AEG＝∠FCG＝60°，∠EGA＝∠CGF，

∴∠EAC＝∠GFC．

又∵∠ACE＝∠FCG＝60°，

∴△CAE∽△CFG，

∴＝，即＝，

解得：CG＝；

故答案为2； ．