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【题目】如图,ABC的外接圆,AC是直径,过点O作ODAB于点D,延长DO交于点P,过点P作PEAC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF。

(1)若POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π

(2)求证:OD=OE;

(3)求证:PF是的切线。

【答案】(1)2π;(2)证明过程见解析;(3)证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据直径得出半径的长度,然后根据弧长的计算公式进行求解;(2)、根据垂直得出ADO=PEO,对顶角相等,半径相等得出ADO和PEO全等,从而得出OD=OE;(3)连接PC,根据直径得出ABC=90°,从而说明PDBC,根据已知条件结合(2)得出PCE和PFC全等,从而说明OPF=90°,得出切线.

试题解析:(1)由直径AC=12得半径OC=6

劣弧PC的长为

(2) ODAB,PEAC

ADO=PEO=90°

ADO和PEO中,ADO=PEO,AOD=POE,OA=OP

ADO≌△PEO

OD=OE

(3)连接PC,由AC是直径知BCAB,又ODAB,

PDBF

OPC=PCF,ODE=CFE

由(2)知OD=OE,则ODE=OED,又OED=FEC

FEC=CFE

EC=FC

由OP=OC知OPC=OCE

PCE =PCF

PCE和PFC中,EC=FC

PCE=PCF PC=PC

PCE≌△PFC

PFC =PEC=90°

PDB=B=90°可知OPF=90°即OPPF

PF是的切线

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