Question

15．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²+3=0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？

Answer 1

分析 首先根据根的判别式求出k的取值范围，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2k-1，x₁x₂=k²+3，再根据勾股定理得到x₁²+x₂²=5²，接着利用完全平方公式变形得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25，则（2k+1）²-2（k²+3）=25，求出k的值，进而求出两条直角边的长．

解答 解：∵一元二次方程x²+（2k-1）x+k²+3=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k-1）²-4（k²+3）＞0，即-4k-11＞0，
∴k＜-$\frac{11}{4}$，
令其两根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=1-2k，x₁•x₂=k²+3，
∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，
∴x₁²+x₂²=5²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=25，
∴（1-2k）²-2（k²+3）=25，
∴k²-2k-15=0，
∴k₁=5，k₂=-3，
∵k＜-$\frac{11}{4}$，
∴k=-3，
∴把k=-3代入原方程得到x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∴直角三角形的两直角边分别为3和4．

点评 本题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据根的判别式求出k的取值范围，解答此题还要熟练掌握因式分解法解一元二次方程，此题难度不大．