Question

2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，BC=3，分别过点B，C作BE∥AC，CE∥BD，且BE，CE相交于点E．
（1）求AB，AC的长；
（2）判断四边形BOCE的形状．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可△ABC为直角三角形，由条件结合勾股定理可求得AB、AC的长；
（2）由条件可先判定四边形BOCE为平行四边形，再结合矩形的性质可判定其为菱形．

解答 解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，且∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
设AB=x，则AC=2x，在Rt△ABCD中，由勾股定理可得x²+3²=（2x）²，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴AB=$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$；
（2）四边形BOCE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴BO=CO，
∴四边形BOCE是菱形．

点评 本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握矩形的四个角都是直角、对角线相等且平分是解题的关键，注意方程思想的应用．