Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF∥AC，又知∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝cm．

（1）请探究EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求⊙O的周长．

Answer 1

【答案】（1）EF与⊙O相切．理由见解析；（2）⊙O的周长为2πcm．

【解析】

（1）延长BO交AC于H，如图，先证明△ABC为等边三角形，利用点O为△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根据切线的判定定理即可得到EF为⊙O的切线；

（2）连结OA，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH＝30°，AH＝CH＝AC＝，再在Rt△AOH中，利用三角函数和计算出OA＝1，然后根据圆的周长公式计算．

（1）EF与⊙O相切．理由如下：

延长BO交AC于H，如图，

∵∠BAC＝∠BDC＝60°，

而∠ACB＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∵点O为△ABC的外心，

∴BH⊥AC，

∵AC∥EF，

∴BH⊥EF，

∴EF为⊙O的切线；

（2）连结OA，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴OA平分∠ABC，

∴∠OAH＝30°，

∵OH⊥AC，

∴AH＝CH＝AC＝，

在Rt△AOH中，∵cos∠OAH＝，

∴OA＝＝1，

∴⊙O的周长＝2π×1＝2π（cm）．