Question

1．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，则可证明△ABE≌△C₁BF，于是得到BE=BF
（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A₁=∠C₁=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，则利用平行线的判定方法得到A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，于是可判断四边形BC₁DA是平行四边形，然后加上AB=BC₁可判断四边形BC₁DA是菱形．

解答 解：（1）BE=DF．理由如下：
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，
∴AB=BC=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，
在△ABE和△C₁BF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠{C}_{1}BF}\\{BA=B{C}_{1}}\\{∠A=∠{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C₁BF，
∴BE=BF
（2）四边形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠A₁=∠C₁=30°，
∵∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
∴∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，
∴A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，
∴四边形BC₁DA是平行四边形．
又∵AB=BC₁，
∴四边形BC₁DA是菱形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．