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【题目】如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABCAB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s.

(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;

(2)试求何时△PBQ是直角三角形?

(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.

【答案】(1)在P、Q运动的过程中,∠CMQ不变,∠CMQ=60°;(2)当t ss 时,△PBQ为直角三角形;(3)在P、Q运动的过程中,∠CMQ的大小不变,∠CMQ=120°.

【解析】试题分析:(1)利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA,则可求得∠BAQ=∠ACP,再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°;

(2)可用t分别表示出BPBQ,分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况,分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程,则可求得t的值;

(3)同(1)可证得△PBC≌△QCA,再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ=120°.

试题解析:(1)∵△ABC为等边三角形,

AB=AC,B=PAC=60°,

∵点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,

AP=BQ,

在△APC和△BQA

∴△APC≌△BQA(SAS),

∴∠BAQ=ACP,

∴∠CMQ=CAQ+∠ACP=BAQ+∠CAQ=BAC=60°,

∴在P、Q运动的过程中,∠CMQ不变,∠CMQ=60°;

(2)∵运动时间为ts,则AP=BQ=t,

PB=4﹣t,

当∠PQB=90°时,

∵∠B=60°,

PB=2BQ,

4﹣t=2t,解得t=

当∠BPQ=90°时,

∵∠B=60°,

BQ=2PB,

t=2(4﹣t),解得t=

∴当t ss 时,△PBQ为直角三角形;

(3)在等边三角形ABC中,AC=BC,ABC=BCA=60°,

∴∠PBC=QCA=120°,且BP=CQ,

在△PBC和△QCA

∴△PBC≌△QCA(SAS),

∴∠BPC=MQC,

又∵∠PCB=MCQ,

∴∠CMQ=PBC=120°,

∴在P、Q运动的过程中,∠CMQ的大小不变,∠CMQ=120°.

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