Question

13．如图，在△ABC中，三个内角的平分线AD、BM、CN交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）∠BOD与∠COE是否相等？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC、∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC、∠ACO=∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB，结合三角形的内角和可得∠ABO+∠BCO+∠CAO=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=90°；
（2）根据三角形外角的性质可得∠BOD=∠ABO+∠BAO=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，由OE⊥BC结合三角形内角和可得出∠COE=90°-∠BCO=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，进而可得出∠BOD=∠COE，此题得解．

解答 解：（1）∵AD、BM、CN是△ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACO=∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC）．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=360°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=90°．
（2）∠BOD=∠COE，理由如下：
∵∠BOD是△ABO的外角，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB．
∵OE⊥BC，
∴∠COE+∠BCO=90°，
∴∠COE=90°-∠BCO=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB．
∴∠BOD=∠COE．

点评 本题考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）根据角平分线的定义找出∠ABO+∠BCO+∠CAO=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC）；（2）根据外角的性质结合三角形内角和找出∠BOD=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=∠COE．