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【题目】如图,AB为半圆O在直径,AD、BC分别切O于A、B两点,CD切O于点E,连接OD、OC,下列结论:①DOC=90°,②AD+BC=CD,③SAOD:SBOC=AD2:AO2,④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DECD,正确的有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

【答案】C

【解析】

试题分析:连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出AOD=EOD,同理得到EOC=BOC,而这四个角之和为平角,可得出DOC为直角,选项①正确;由DOCDEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DECD,选项⑤正确;由AOD∽△BOC,可得===,选项③正确;由ODE∽△OEC,可得,选项④错误.

解:连接OE,如图所示:

AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,

∴∠DAO=DEO=OBC=90°

DA=DE,CE=CB,ADBC

CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;

在RtADO和RtEDO中,

RtADORtEDO(HL),

∴∠AOD=EOD

同理RtCEORtCBO

∴∠EOC=BOC

AOD+DOE+EOC+COB=180°

2DOE+EOC)=180°,即DOC=90°,选项①正确;

∴∠DOC=DEO=90°,又EDO=ODC

∴△EDO∽△ODC

=,即OD2=DCDE,选项⑤正确;

∵∠AOD+COB=AOD+ADO=90°

A=B=90°

∴△AOD∽△BOC

===,选项③正确;

同理ODE∽△OEC

,选项④错误;

故选C.

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