[题目]如图所示.在△ABC中.∠BAC=106°.EF.MN分别是AB.AC的垂直平分线.点E.M在BC上.则∠EAN= . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=_____.

【答案】32°.

【解析】

先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC（∠BAE＋∠CAN）解答即可．

∵△ABC中，∠BAC＝106°，

∴∠B＋∠C＝180°∠BAC＝180°106°＝74°，

∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，

∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，

即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，

∴∠EAN＝∠BAC（∠BAE＋∠CAN）＝106°74°＝32°．

故答案为32°．

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（1）方法探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45°

试探究线段BD、CE、DE可以组成什么样的三角形。我们可以过点B作BF⊥BC，使BF=EC，连接AF、DF，易得∠AFB=45°进而得到△AFB≌△AEC，相当于把△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB，请接着完成下面的推理过程：

∵△AFB≌△AEC，

∴∠BAF= ，AF=AE，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE= ，

∴∠BAF+∠BAD=45°，

∴∠DAF=45°= ，

在△DAF与△DAE中，

AF=AE，

∠DAF=∠DAE，

AD=AD，

∴△DAF≌△DAE，

∴DF= ，

∵BD、BF、DF组成直角三角形，

∴BD、CE、DE组成直角三角形.

（2）方法运用

① 如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠EAF=45°试判断线段BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由。

② 如图③，在①的基础上若点E、F分别在BC和CD的延长线，其他条件不变，①中的关系在图③中是否仍然成立？若成立请说明理由；若不成立请写出新的关系，并说明理由。

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【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx（m＞0且m≠1）与x轴交于原点O和点A，点B的坐标为（1，﹣1），连结AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连结OB、OC．

（1）求点A的横坐标．（用含m的代数式表示）．
（2）若m=3，则点C的坐标为．
（3）当点C与抛物线的顶点重合时，求四边形ABOC的面积．
（4）结合m的取值范围，直接写出∠AOC的度数．