Question

20．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，BC=2AB，过点D作DF||AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△AEB≌△FED；
（2）求证：AC=AF．

Answer 1

分析 （1）由AE是△ABD的中线，得到BE=DE，根据平行线的性质得到∠BAE=∠F，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AB=DF，∠B=∠BDF，由AD是△ABC的中线，BC=2AB，得到BD=CD=AB=DF，根据三角形的外角的性质得到∠ADF=∠ADC，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AE是△ABD的中线，
∴BE=DE，
∵DF||AB，
∴∠BAE=∠F，
在△AEB与△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠F}\\{∠AEB=∠DEF}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FDE；
（2）∵△ABE≌△FDE，
∴AB=DF，∠B=∠BDF，
∵AD是△ABC的中线，BC=2AB，
∴BD=CD=AB=DF，
∴∠ABD=∠BDA，
∵∠ADF=∠ADB+∠BDF，∠ADC=∠BAD+∠B，
∴∠ADF=∠ADC，
在△ADF与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC，
∴AC=AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．