Question

8．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=12，试求BF的长．

Answer 1

分析 （1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=$\frac{1}{3}$BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．

解答 解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMF=∠E}\\{DF=EF}\\{∠DFM=∠EFB}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM=BE，
∴CD=BE；

（2）∵CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．