【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若AB=3,AC=4,求线段PB的长.
【答案】(1)见解析;(2)PB=.
【解析】
(1)由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角,再由AD为角平分线,得到一对角相等,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角,与平行线中的一条垂直,与另一条也垂直得到OD与PD垂直,即可得证;
(2)由PD与BC平行,得到一对同位角相等,再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD,根据同角的补角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似;由三角形ABC为直角三角形,利用勾股定理求出BC的长,再由OD垂直平分BC,得到DB=DC,相似三角形的性质,得比例,求出所求即可.
(1)证明:∵圆心O在BC上,
∴BC是圆O的直径,
∴∠BAC=90°,
连接OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠DAC,
∵∠DOC=2∠DAC,
∴∠DOC=∠BAC=90°,即OD⊥BC,
∵PD∥BC,
∴OD⊥PD,
∵OD为圆O的半径,
∴PD是圆O的切线;
(2)∵PD∥BC,
∴∠P=∠ABC,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠P=∠ADC,
∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠PBD=∠ACD,
∴△PBD∽△DCA;
∵△ABC为直角三角形,
∴BC2=AB2+AC2=32+42=25,
∴BC=5,
∵OD垂直平分BC,
∴DB=DC,
∵BC为圆O的直径,
∴∠BDC=90°,
在Rt△DBC中,DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=25,
∴DC=DB=,
∵△PBD∽△DCA,
∴,
则PB=.
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上, 顶点C、D在圆内,将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动.当滚动一周回到原位置时,点C运动的路径长为__ _.
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D、E两点,BF与⊙O相切于点B,交AC的延长线于点F.
(1)求证:D是AC的中点;
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
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【题目】如图, 抛物线与轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包 含端点),则下列结论:①;②;③对于任意实数m,总成立;④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点M在y=的图象上运动时,以下结论:①S△ODB=S△OCA;②四边形OAMB的面积不变;③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.其中正确结论是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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【题目】问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将矩形纸片沿对角线剪开,得到和.并且量得,.
操作发现:
(1)将图1中的以点为旋转中心,按逆时针方向旋转,使,得到如图2所示的,过点作的平行线,与的延长线交于点,则四边形的形状是________.
(2)创新小组将图1中的以点为旋转中心,按逆时针方向旋转,使、、三点在同一条直线上,得到如图3所示的,连接,取的中点,连接并延长至点,使,连接、,得到四边形,发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将沿着方向平移,使点与点重合,此时点平移至点,与相交于点,如图4所示,连接,试求的值.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为10,点E,F分别为BC,AB边的中点.连接AE、DF,两线交于点H,连接BH并延长,交边AD于点G.下列结论:①△ABE≌△DAF,②cos∠BAE=,③:S四边形CDHE=1:11,④AG=其中正确的是( )
A.①③④B.①②③
C.①④D.②③④
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【题目】如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点,AD=1,BC=5,设⊙O的半径长为r.
(1)联结OF,当OF∥BC时,求⊙O的半径长;
(2)过点O作OH⊥EF,垂足为点H,设OH=y,试用r的代数式表示y;
(3)设点G为DC的中点,联结OG、OD,△ODG是否能成为等腰三角形?如果能,试求出r的值;如不能,试说明理由.
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