【题目】如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点,AD=1,BC=5,设⊙O的半径长为r.
(1)联结OF,当OF∥BC时,求⊙O的半径长;
(2)过点O作OH⊥EF,垂足为点H,设OH=y,试用r的代数式表示y;
(3)设点G为DC的中点,联结OG、OD,△ODG是否能成为等腰三角形?如果能,试求出r的值;如不能,试说明理由.
【答案】(1)3;(2)y=;(3)△ODG能成为等腰三角形,r=2
【解析】
(1)证OF为梯形ABCD的中位线,得出r=OF=(AD+BC)=3即可;
(2)连接OD、OC,过点D作DM⊥BC于M,则CM=BC﹣BM=4,由勾股定理得出DC=2,由四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积,进而得出答案;
(3)证OG是梯形ABCD的中位线,得出OG∥AD,OG=3,DG=CD=,由勾股定理得OD=,分三种情况,分别求解即可.
解:(1)∵OF∥BC,OA=OB,
∴OF为梯形ABCD的中位线,
∴OF=(AD+BC)=(1+5)=3,
即⊙O的半径长为3;
(2)连接OD、OC,过点D作DM⊥BC于M,如图1所示:
∵AD∥BC,∠ABC=90°,且DM⊥BC,
∴四边形ABMD为矩形,
则BM=AD=1,
∴CM=BC﹣BM=4,
∴DC=,
∵四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积,
∴(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5,
整理得:y=;
(3)△ODG能成为等腰三角形,理由如下:
∵点G为DC的中点,OA=OB,
∴OG是梯形ABCD的中位线,
∴OG∥AD,OG=(AD+BC)=(1+5)=3,
DG=CD=,
由勾股定理得:OD=,
分三种情况:
①DG=DO时,则,无解;
②OD=OG时,如图2所示:
,
解得:;
③GD=GO时,作OH⊥CD于H,如图3所示:
∠GOD=∠GDO,
∵OG∥AD,
∴∠ADO=∠GOD,
∴∠ADO=∠GDO,
∴DO是∠ADG的平分线,
由题意知:OA⊥AD,
又OH⊥CD,
∴OA=OH,
则此时圆O和CD相切,不合题意;
综上所述,△ODG能成为等腰三角形,r=.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若AB=3,AC=4,求线段PB的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证:四边形ADCF是菱形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x﹣2与x轴,y轴分别交于点D,C.点G,H是线段CD上的两个动点,且∠GOH=45°,过点G作GA⊥x轴于A,过点H作HB⊥y轴于B,延长AG,BH交于点E,则过点E的反比例函数y=的解析式为_____.
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【题目】如图所示,一次函数y=﹣x﹣6与x轴,y轴分别交于点A,B将直线AB沿y轴正方向平移与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点C,D,连接BC交x轴于点E,连接AC,已知BE=3CE,且S△ABE=27.
(1)求直线AC和反比例函数的解析式;
(2)连接AD,求△ACD的面积.
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【题目】央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注,金昌市某校就学生喜爱情况进行了随机调查,对收集的信息进行统计,绘制了下面两副尚不完整的统计图,请你根据统计图所提供的信息,解答下列问题:
图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”
(1)此次抽样调查,共调查了 名学生;
(2)将图1中的条形统计图补充完整;
(3)图2中,C部分所在扇形的圆心角为 度;
(4)若该校共有学生1800人,估计该校学生中D类有多少人?
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【题目】某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查,并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种型号).
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该班共有多少名学生?其中穿175型校服的学生有多少?
(2)在条形统计图中,请把空缺部分补充完整.
(3)在扇形统计图中,请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小;
(4)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数.
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【题目】△ABC为等边三角形,点O为AB边上一点,且BO=2AO=4,将△ABC绕点O逆时针旋转60°得△DEF,则图中阴影部分的面积为______.
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【题目】已知抛物线C1:y=ax2﹣4ax﹣5(a>0).
(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;
(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.
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