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【题目】如图,已知在四边形ABCD中,ADBC,∠ABC90°,以AB为直径的O交边DCEF两点,AD1BC5,设O的半径长为r

1)联结OF,当OFBC时,求O的半径长;

2)过点OOHEF,垂足为点H,设OHy,试用r的代数式表示y

3)设点GDC的中点,联结OGOD,△ODG是否能成为等腰三角形?如果能,试求出r的值;如不能,试说明理由.

【答案】(1)3(2)y=(3)ODG能成为等腰三角形,r=2

【解析】

(1)OF为梯形ABCD的中位线,得出r=OF=(AD+BC)=3即可;

(2)连接ODOC,过点DDMBCM,则CM=BCBM=4,由勾股定理得出DC=2,由四边形ABCD的面积=DOC的面积+AOD的面积+BOC的面积,进而得出答案;

(3)OG是梯形ABCD的中位线,得出OGADOG=3DG=CD=,由勾股定理得OD=,分三种情况,分别求解即可.

解:(1)OFBCOA=OB

OF为梯形ABCD的中位线,

OF=(AD+BC)=(1+5)=3

即⊙O的半径长为3

(2)连接ODOC,过点DDMBCM,如图1所示:

ADBC,∠ABC=90°,且DMBC

∴四边形ABMD为矩形,

BM=AD=1

CM=BCBM=4

DC=

∵四边形ABCD的面积=DOC的面积+AOD的面积+BOC的面积,

(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5

整理得:y=

(3)ODG能成为等腰三角形,理由如下:

∵点GDC的中点,OA=OB

OG是梯形ABCD的中位线,

OGADOG=(AD+BC)=(1+5)=3

DG=CD=

由勾股定理得:OD=

分三种情况:

DG=DO时,则,无解;

OD=OG时,如图2所示:

解得:

GD=GO时,作OHCDH,如图3所示:

GOD=GDO

OGAD

∴∠ADO=GOD

∴∠ADO=GDO

DO是∠ADG的平分线,

由题意知:OAAD

OHCD

OA=OH

则此时圆OCD相切,不合题意;

综上所述,△ODG能成为等腰三角形,r=

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