Question

如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=过点A（-4，1），过点P是与点A不重合的双曲线上任一动点，过点A和P分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B、C和D、E．
（1）求k、S_△ADC及S_△PDC值；
（2）判断AP和DC 的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在双曲线上运动时，探索以A、P、C、D四点为定点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？若能，请直接写出所有满足要求的点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将点A坐标（-4，1）代入y=，得k=-4．
∴双曲线解析式为y=-．
∴S_矩形ABCO=S_矩形PDOE=|k|=4．
又∵S_△ADC=S_矩形ABCO，S_△PDC=S_矩形PDOE，
∴S_△PDC=S_△ADC=2．

（2）AP∥DC，理由如下：
过点A、P作△ADC和△PDC公共边DC上的高AM和PN．
∵S_△PDC=S_△ADC，
∴AM=PN，且AM∥PN，
∴四边形AMNP是平行四边形．
∴AP∥CD．

（3）当四边形是菱形时，点P的坐标为（-2，2）；
当四边形是等腰梯形时，点P的坐标为（-1，4），（1，-4）．
分析：（1）根据待定系数法求出k的值，得到反比例函数的解析式，利用反比例函数的几何意义求出S_△ADC及S_△PDC值；
（2）过点A、P作△ADC和△PDC公共边DC上的高AM和PN，根据同底的三角形面积相等其高相等，得到AM=PN，由于都垂直于DC，可得AM∥PN，得到四边形AMNP是平行四边形，可得AP∥CD．
（3）根据菱形的性质和等腰梯形的性质，结合反比例函数的解析式y=-，解答即可．
点评：本题考查了反比例函数的性质，同底等高的三角形面积相等，等腰梯形和菱形的性质等内容，作出辅助线是解题的关键．