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【题目】如图(1),抛物线y=﹣ x2+x+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(﹣2,0).

(1)求此抛物线的解析式;
(2)①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE⊥x轴于E,连接CD,以OE为直径作⊙M,如图(2),试求当CD与⊙M相切时D点的坐标;
②点F是x轴上的动点,在抛物线上是否存在一点G,使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:

由已知有:﹣ (﹣2)2+(﹣2)+c=0,

∴c=3,抛物线的解析式是:y=﹣ x2+x+3


(2)

解:方法一:

①令D(x,y),(x>0,y>0),

则E(x,0),M( ,0),由(1)知C(0,3),

连接MC、MD,

∵DE、CD与⊙O相切,

∴∠OCM=∠MCD,∠CDM=∠EDM,

∴∠CMD=90°,

∴△COM∽△MED,

=

=

又∵D点在抛物线上,满足解析式y=﹣ x2+x+3,

∴x= (1± ),

又∵x>0,

∴x= (1+ ),

∴y= (3+ ),则D点的坐标是:( (1+ (3+ )).

②假设存在满足条件的点G(a,b).

若构成的四边形是ACGF,(下图1)则G与C关于直线x=2对称,

∴G点的坐标是:(4,3);

若构成的四边形是ACFG,(下图2)则由平行四边形的性质有b=﹣3,

又∵﹣ a2+a+3=﹣3,

∴a=2±2

此时G点的坐标是:(2±2 ,﹣3)

方法二:

①连接CM,DM,

∵D为抛物线:y=﹣ x2+x+3上的一点,

∴设D(t,﹣ t2+t+3),

∴E(t,0),

∵M为OE中点,

∴M( ,0),

∵C(0,3),CD与⊙M相切,

∴∠MDC=∠EDM,∠OCM=∠MCD,

∵DE⊥x轴,

∴∠OCD+∠CDE=180°

∴∠MCD+∠MDC=90°

∴CD⊥DM,

∴KCM×KDM=﹣1,

=﹣1,∴

∴D( ).

②∵F是x轴上的动点,∴设F(t,0),

∵A(﹣2,0),C(0,3),

,∴

同理:

∴﹣ (t+2)2+t+2+3=3,∴

∴﹣ (﹣t﹣2)2﹣t﹣2+3=3,∴

∴﹣ (t﹣2)2+t﹣2+3=﹣3,t﹣2=2±2

综上所述,满足题意的点G1(2﹣2 ,﹣3),G2(2+2 ,﹣3)


【解析】(1)把A的坐标代入抛物线的解析式,即可得到关于c的方程,求的c的值,则抛物线的解析式即可求解;(2)①连接MC、MD,证明△COM∽△MED,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解;②分四边形是ACGF和四边形是ACFG两种情况进行讨论,根据平行四边形的性质即可求解.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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C.2个
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