Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。

（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

解：（1）如图①，⊙P与x轴相切， ∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8）， ∴OA=4，OB=8， 由题意，OP=-k， ∴PB=PA=8+k， 在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2， ∴k=-3， ∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切； （2）如图②，设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD， 当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E， ∵△PCD为正三角形， ∴DE=CD=，PD=3， ∴PE=， ∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB， ∴，即， ∴， ∴PO=BO-PB=8-， ∴，∴， 当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得 ， ∴当k=-8或k=--8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。