Question

如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC边上的两个动点，且∠MDN=45°，以DM为直径的圆交DN于点E，连结BE、AE．
（1）试证明△ADE△≌ABE；
（2）试探索∠BEN与∠ADM之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接ME，可证∠DAE=∠BAE，即可证明△ADE△≌△ABE；
（2）根据外角等于不相邻两内角和即可解题．

解答：（1）证明：连接ME，

在正方形ABCD中，AD=AB，
∵DM为直径，
∴∠DEM=90°，
∵∠MDN=45°，
∴∠MDE=∠DME=45°，
∵∠DAE=∠DME，∠EAB=∠MDE，
∴∠DAE=∠BAE，
在△ADE△与△ABE中，

AD=AB ∠DAE=∠BAE AE=AE

，
∴△ADE△≌△ABE（SAS）．
（2）解：∵∠ADM=180°-90°-∠DAM=90°-∠DMA，∠DMA=∠AED，
∴∠ADM=90°-∠AED，
∵∠DEA=∠AEB，
∴∠BEN=180°-∠DEA-∠AEB=180°-2∠AED，
∴∠BEN=2∠ADM．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE△≌△ABE是解题的关键．