Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：

①若C、O两点关于AB对称，则OA=2；

②C、O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO，则AB⊥CO；

④斜边AB的中点D运动路径的长为；

其中正确的是_____（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①②

【解析】试题解析：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=；所以①正确；

②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；

③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；

④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则： =π．所以④不正确；

综上所述，本题正确的有：①②；

故答案为：①②．