Question

【题目】在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，以B为圆心，BA为半径作⊙B交BC于点D，旋转∠ABD交⊙B于点E、F，连接EF交AC、BC边于点G、H．

（1）若BE⊥AC，求tan∠CGH的值；

（2）若AG=4，求△BEF与△ABC重叠部分的面积；

（3）△BHE是等腰三角形时，∠ABD逆时针旋转的度数是_____．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）4-4；（3）22.5°或45°.

【解析】试题分析：（1）先判断出AC∥BF，进而得出∠CGH=F=45°，即可得出结论；

（2）易知当AG=4时，点G为AC中点，与点E重合，如图2，过点H作HN⊥BE于N，△BEF与△ABC重叠部分的面积就是△EBH的面积，只需运用三角函数求出HN，即可解决问题；

（3）只需将△BHE的三个内角分别作为等腰三角形的顶角进行分类讨论，就可解决问题．

试题解析：解：（1）如图1．∵BE⊥AC，BE⊥BF，∴AC∥BF，∴∠CGH=∠F=45°，∴tan∠CGH=tan45°=1；

（2）∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．∵AG=4，∴点G是AC的中点，此时E与G重合，△ABE是等边三角形，如图2．过点H作于HN⊥BE于N，∠BEF=45°，BE=BF，∴∠EHN=90°﹣45°=45°=∠BEF，∴EN=HN．设HN=x，则EN=x，NB=4﹣x．在Rt△HNB中，由tan∠NBH=，得：，解得：，∴S△EBH=，即△BEF与△ABC重叠部分的面积为；

（3）①若∠HEB是等腰△BHE的顶角，如图3，则有∠EBH=∠EHB==67.5°，∴∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°．

②若∠EHB是等腰△BHE的顶角，如图4，则有∠EBH=∠HEB=45°，∴∠ABE=90°﹣45°=45°．

③若∠EBH是等腰△BHE的顶角，则∠EBH=180°﹣45°﹣45°=90°，此时点E与点A重合，没有旋转，故舍去．

综上所述：△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数为22.5°或45°．