Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=9cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为3．

Answer 1

分析 连接PP′交BC于O，如图，利用等腰直角三角形的性质得AB=$\sqrt{2}$AC=9$\sqrt{2}$，由于BQ=t，PA=$\sqrt{2}$t，则PB=9$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，CQ=9-t，根据菱形的性质得PP′⊥QC，OQ=OC，则OQ=$\frac{9-t}{2}$，BO=$\frac{9+t}{2}$，然后利用PO∥AC，得到$\frac{BO}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{\frac{9+t}{2}}{9}$=$\frac{9\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{9\sqrt{2}}$，再利用比例性质求t即可．

解答 解：连接PP′交BC于O，如图，∵∠ACB=90°，AC=BC=9cm，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=9$\sqrt{2}$，
∵BQ=t，PA=$\sqrt{2}$t，
∴PB=9$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，CQ=9-t，
∵若四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，OQ=OC
∴OQ=$\frac{9-t}{2}$，
∴BO=t+$\frac{9-t}{2}$=$\frac{9+t}{2}$
∵∠POQ=90°，∠ACB=90°，
∴PO∥AC，
∴$\frac{BO}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{\frac{9+t}{2}}{9}$=$\frac{9\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{9\sqrt{2}}$，
∴t=3．
故答案为3．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质和平行线分线段成比例定理．