Question

4．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠A的平分线AD，AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若点D恰好在线段AB的垂直平分线上，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）首先以A为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、AC于N、M两点；再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D即可；
（2）根据垂直平分线的性质，得到BD=AD，进而得到∠ABD=∠DAB，设∠B=x°，根据直角三角形中两个锐角互余可得关于x的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图所示：

（2）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠DAB，
设∠B=x°，
则∠ABD=∠DAB=∠B=x°，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
即3x=90°，
解得x=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°．

点评 此题主要考查了作一个角的角平分线，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握基本性质是解决问题的关键．