Question

10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，AE⊥BC垂足为点E，（BE＜EC），AE=6$\sqrt{2}$，CD=5$\sqrt{2}$，连接DE，则DE的长为2$\sqrt{17}$或8．

Answer 1

分析 过E作EN⊥AD于N，过C作CM⊥AD于M，连接AC通过△ABC≌△ADC，得到∠B=∠ADC，∠BAC=∠CAD=45°，根据余角的性质得到∠B=∠EAN=∠ADC，由CM⊥AM，于是得到∠ACM=∠CAM=45°，设AM=CM=a，根据已知条件得到S_△ABC=S_△ACD=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×5\sqrt{2}$=30，DM=$\sqrt{50-{a}^{2}}$，得到方程30=$\frac{1}{2}•a•（a+\sqrt{50+{a}^{2}}$），解得a=3$\sqrt{5}$或2$\sqrt{10}$，当AM=MC=3$\sqrt{5}$时，通过△AEN∽△DCM，得到$\frac{EN}{CM}=\frac{AE}{CD}$，求得AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过E作EN⊥AD于N，过C作CM⊥AD于M，连接AC
在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠ADC，∠BAC=∠CAD=45°，
∵∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAN=90°，
∴∠B=∠EAN=∠ADC，
∵CM⊥AM，
∴∠ACM=∠CAM=45°，
设AM=CM=a，
∵AE=6$\sqrt{2}$，CD=5$\sqrt{2}$，AE⊥BC，
∴S_△ABC=S_△ACD=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×5\sqrt{2}$=30，
DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{50-{a}^{2}}$，
∵AD=AM+DM=a+DM，
∴3═$\frac{1}{2}•a•（a+\sqrt{50+{a}^{2}}$），
解得：a=3$\sqrt{5}$或2$\sqrt{10}$，
当AM=MC=3$\sqrt{5}$时，
∵∠EAN=∠ADC，∠ANE=∠CMD，
∴△AEN∽△DCM，
∴$\frac{EN}{CM}=\frac{AE}{CD}$，
∴EN=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，
∴AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴ND=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=$\sqrt{E{N}^{2}+N{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
同理可得当AM=CM=2$\sqrt{10}$时，ED=8．
综上所述：DE的长为2$\sqrt{17}$或8．
故答案为：2$\sqrt{17}$或8．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．