Question

2．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC？
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（4）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AC=8 cm，动点P从点C开始，出发2秒后，则CP=2 cm，AP=6 cm，由勾股定理求出PB，即可得出结果；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△APD≌Rt△APC，得出AD=AC=6cm，因此BD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PB=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，用的时间为12时；          
ii）若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P运动的路程为18-7.2=10.8cm，即可得出结果；       
ⅲ）若BP=CP，则∠PCB=∠B，证出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程为13cm，即可得出结果；
（4）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图6，P点走过的路程为t，Q走过的路程为2t，根据题意得出方程，解方程即可；
②当P、Q没相遇后：当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果．

解答 解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=8 cm，
∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2 cm，AP=6 cm，
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得PB=$\sqrt{P{C^2}+B{C^2}}$=$2\sqrt{10}cm$，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=（16+$2\sqrt{10}$） cm．      
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠CAB，
∴PD=PC．                                
在Rt△APD与Rt△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），
∴AD=AC=6 cm，
∴BD=10-6=4 cm．                            
设PC=x cm，则PB=（8-x）cm
在Rt△BPD中，PD²+BD²=PB²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；                     
（3）①如图3，若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形          
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图4，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，
所以用的时间为12s时，△BCP为等腰三角形；          
ii）如图5，若CP=BC=6cm，
过C作CD⊥AB于点D，根据面积法得：高CD=4.8cm，
在Rt△PCD中，PD=3.6cm，∴BP=2PD=7.2cm，
∴P运动的路程为18-7.2=10.8cm，
∴用的时间为10.8s时，△BCP为等腰三角形；          
ⅲ）如图6，若BP=CP，则∠PCB=∠B，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACP=∠A，
∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．   
综上所述，当t为6s或12s或10.8s或13s时，△BCP为等腰三角形；
（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图7，
P点走过的路程为tcm，Q走过的路程为2tcm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t=12，
∴t=4s；                                          
②当P、Q没相遇后：如图8，
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12s，
∴当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．