Question

12．如图1，AB⊥BC，AB=2，△ABE是等边三角形，点P在射线BC上运动，以AP为边向右上方作等边△APQ，射线QE交射线BC于点F．
（1）如图2，当点P运动到与A、E成一直线时，则PQ=4，∠QFC=60°；
（2）在图1中，①求证：△ABP≌△AEQ；
②随着点P的运动，∠QFC的度数是不是定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）随着点P的运动，下列情况描述正确的有①③（填序号）
①点Q的位置随之改变；                   ②点F的位置随之改变；
③AE与EQ的位置关系不变；               ④∠QFP=60°或120°．

Answer 1

分析 （1）如图1，当点P运动到与A、E成一直线时，根据等边三角形的性质得到PQ=AP，∠BAP=∠ABE=60°，根据三角形的内角和得到∠APB=∠EBP=30°，根据直角三角形的性质得到AP=2AB=4，BE=PE，证得QF⊥AP，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质可以得出AB=AE，AP=AQ，由等式的性质就可以得出∠BAP=∠EAQ，就可以得出结论；
②根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）由△ABP≌△AEQ就可以得出∠ABP=∠AEQ=90°，进而可以得出∠FBE=FEB=30°，就可以得出EF=BF；根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；由（2）知∠QFP=60°．

解答 解：（1）如图1，当点P运动到与A、E成一直线时，
∵△ABE与△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP，∠BAP=∠ABE=60°，
∵∠ABP=90°，
∴∠APB=∠EBP=30°，
∴AP=2AB=4，BE=PE，
∴PQ=AP=4；PE=AE，
∴QF⊥AP，
∴∠QFC=60°，
故答案为：4，60°；

（2）①∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ，（SAS）；
②∠QFC=60°，
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°；

（3）随着点P的运动，①点Q的位置随之改变；故①正确；
∵△QAE≌△PAB，
∴∠ABP=∠AEQ=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABP=∠AEF，
∴∠ABP-∠AEB=∠AEF-∠ABE，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF=$\sqrt{3}$，
∴点F的位置不会改变；故②错误；
∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△BAP和△EAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△EAQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABC=90°，
∴AE与EQ的位置关系不变；故③正确；
由（2）知∠QFP=60°，故④错误；
故答案为：①③．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．