Question

5．如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC的中点．
求证：AF=BC+CF．

Answer 1

分析 作EM⊥AF于M，连接EF，根据已知和正方形的性质分别证明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，从而得出结论．

解答 解：作EM⊥AF于M，连接EF，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，
∴BE=EM，
在Rt△ABE与Rt△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{BE=EM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AME，
∴AM=AB=BC，EM=BE，
∵E是BC中点，
∴EC=BE=EM，
在Rt△EMF与Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ME=CE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF，
∴FM=FC，
∵AF=AM+MF，
∴AF=BC+CF．

点评 本题考查了正方形的性质，及全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．