Question

4．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，已知CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AB=10，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，交OC于F，由圆周角定理得出AD⊥DE，由平行四边形的性质得出OF⊥DE，由垂径定理得出DF=EF=$\frac{1}{2}$DE，由勾股定理求出CD，由三角形的面积求出DF的长，即可得出AD的长．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}&{\;}\\{∠EOC=∠DOC}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，交OC于F，如图2所示：
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB=10，OA=BC=6，AB∥OC，
∴OF⊥DE，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△CDO中，OC=10，OD=OA=6，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
由三角形的面积公式得：$\frac{1}{2}$×CD×OD=$\frac{1}{2}$×OC×DF，
∴DF=$\frac{CD•OD}{OC}$=$\frac{24}{5}$，
∴DE=2DF=$\frac{48}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，三角形的面积的应用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．