Question

（本题11分）如图，在正方形ABCD中， AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．

（1）求证：∠GCF＝∠FCE；

（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若BP＝2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）PG＝PB＋DG，理由详见解析；（3）存在，当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）过点F作FH⊥BE于点H，利用正方形的性质，证得△BAP≌△HPF得出PH＝AB，BP＝FH，进一步得出BP＋PC＝PC＋CH，CH＝BP＝FH，∠FHC＝90，求得∠DCF＝90-45°=45°得出结论；

（2）延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论；

（3）首先判断存在，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，证得△ABP≌△DAM，进一步求得结论即可.

试题解析：（1）证明：过点F作FH⊥BE于点H，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90,AB＝BC，

∴∠BAP＋∠APB＝90，

∵AP⊥PF，∴∠APB＋∠FPH＝90，∴∠FPH＝∠BAP ，

又∵AP＝PF，∴△BAP≌△HPF，

∴PH＝AB，BP＝FH，

∴PH＝BC，

∴BP＋PC＝PC＋CH，

∴CH＝BP＝FH，

而∠FHC＝90，∴∠FCH＝∠CFH＝45，

∴∠DCF＝90－45＝45，

∴∠GCF＝∠FCE，

（2）PG＝PB＋DG，理由如下：

延长PB至K，使BK=DG,

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD, ∠ABK＝ADG=90，

∴△ABK≌△ADG，∴AK=AG, ∠KAB＝∠GAD，

而∠APF=90 ，AP=PF，∴∠PAF＝∠PFA＝45 ，

∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45 ＝∠PAF，

∴△KAP≌△GAP，

∴KP=PG,

∴KB＋BP=DG＋BP＝PG，

即，PG＝PB＋DG；

（3）存在．

如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，

则MD∥PF，且MD＝FP，

又∵PF=AP，∴MD=AP，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABP=∠DAM，

∴△ABP≌△DAM，∴AM＝BP=2，

∴BM＝AB－AM=5－2=3．

∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定.

考点分析： 考点1：四边形 四边形：四边形的初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。主要考察内容：①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。突破方法：①掌握多边形，四边形的性质和判定方法。熟记各项公式。②注意利用四边形的性质进行有关四边形的证明。③注意开放性题目的解答，多种情况分析。 试题属性

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