Question

4．已知Rt△ABC中，CD为AB边上的高，AE、BF分别为角平分线，交CD于P、G两点，M为PE的中点，N为FG的中点，求证：MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）．

Answer 1

分析 连接CM、CN并延长，交AB于X、Y，连接DN、DM，证明BC=BY，AC=AX和MN=$\frac{1}{2}$XY，通过推理得到答案．

解答 证明：连接CM、CN并延长，交AB于X、Y，连接DN、DM，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠BCD=∠BAC，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，
∴∠BAC+∠ABF=∠BCD+∠CBF，
∵∠CFG=∠BAC+∠ABF，∠CGF=∠BCD+∠CBF，
∴∠CFG=∠CGF，∴CF=CG，
∵N为FG的中点，∴CN⊥FG，
∴∠BNC=∠BDC=90°，∴B、C、N、D四点共圆，
∴$\widehat{CN}$=$\widehat{DN}$，∴CN=DN，同理CM=DM，
∴MN垂直平分CD，∴MN∥AB，
∵BF平分∠ABC，BN⊥CY，
∴BC=BY，同理，AC=AX，
∴MN=$\frac{1}{2}$XY=$\frac{1}{2}$（AB-AY-BX）=$\frac{1}{2}$[AB-（AB-BY）-（AB-AX）]
=$\frac{1}{2}$（AX+BY-AB）=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）．

点评 本题考查的是三角形中位线定理和四点共圆的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．