Question

13．（1）如图1，等边三角形ABC与等边△MDE，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，猜想DF与EN的数量关系．
（2）如图2，等腰△ABC与等腰△MDEE，MD=ME，CA=CB，∠DME=∠ACB，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，DF与EN的关系还成立吗？并说明理由．
（3）如图3，等腰直角△ABC与等腰直角△MDE，∠MDE=∠CAB=90°，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，试探究$\frac{DF}{EN}$的值．
（4）如图4，任意△ABC与△MDE，∠DME=∠ACB，ME=mDM，BC=mAC，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，直接写出$\frac{DF}{EN}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接MN、MF、NF，如图1，易证△MNF是等边三角形，结合条件△MDE是等边三角形，即可证到△DMF≌△EMN，则有DF=EN；
（2）连接MN、MF、NF，如图2，易证四边形MNCF是菱形，从而可得∠FMN=∠ACB．由∠DME=∠ACB可得∠DME=∠FMN，从而有∠DMF=∠EMN，进而可证到△DMF≌△EMN，则有DF=EN；
（3）连接MN、MF、NF，如图3，易证四边形MNCF是平行四边形，从而可得∠FMN=∠ACB．由∠DME=∠ACB可得∠DME=∠FMN，从而有∠DMF=∠EMN．易证$\frac{ME}{MD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MN}{MF}$，从而可得△DMF∽△EMN，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（4）连接MN、MF、NF，如图4，仿照（3）的方法，可证到△DMF∽△EMN，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：（1）DF=EN．
理由：连接MN、MF、NF，如图1，

∵点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC，MF=$\frac{1}{2}$AC，NF=$\frac{1}{2}$AB．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∴MN=MF=NF，
∴△MNF是等边三角形，
∴∠NMF=60°．
∵△MDE是等边三角形，
∴MD=ME，∠DME=60°，
∴∠DME=∠FMN，
∴∠DMF=∠EMN．
在△DMF和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=ME}\\{∠DMF=∠EMN}\\{MF=MN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EMN，
∴DF=EN；

（2）DF=EN仍然成立．
理由：连接MN、MF、NF，如图2，

∵点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=FC，MF=$\frac{1}{2}$AC=NC，
∵CA=CB，∴MN=MF=FC=NC，
∴四边形MNCF是菱形，
∴∠FMN=∠ACB．
∵∠DME=∠ACB，
∴∠DME=∠FMN，
∴∠DMF=∠EMN．
在△DMF和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=ME}\\{∠DMF=∠EMN}\\{MF=MN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EMN，
∴DF=EN；

（3）连接MN、MF、NF，如图3，

∵点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=FC，MF=$\frac{1}{2}$AC=NC，
∴四边形MNCF是平行四边形，
∴∠FMN=∠ACB．
∵△ABC与△MDE都是等腰直角三角形，∠MDE=∠CAB=90°，
∴ME=$\sqrt{2}$MD，BC=$\sqrt{2}$AC，∠DME=45°，∠ACB=45°，
∴$\frac{ME}{MD}$=$\frac{BC}{AC}$，∠DME=∠ACB=∠FMN，
∴$\frac{ME}{MD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MN}{MF}$，∠DMF=∠EMN，
∴△DMF∽△EMN，
∴$\frac{DF}{EN}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DM}{\sqrt{2}DM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（4）$\frac{DF}{EN}$=$\frac{1}{m}$．
提示：连接MN、MF、NF，如图4，

仿照（3）的方法，可证到△DMF∽△EMN，
即可得到$\frac{DF}{EN}$=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DM}{m•DM}$=$\frac{1}{m}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，运用已有经验解决问题是解决本题的关键．